曲线曲率的含义及计算公式

在工程技术中，有时需要考虑曲线的弯曲程度。例如，设计铁路线路时，如果弯曲程度不合适，很容易造成火车出轨等事故；又如，车床的主轴由于所受荷载与它本身的重量的作用，总会产生弯曲变形，如果弯曲程度过大，就会影响车床的正常运转和精度。为了刻画曲线的弯曲程度，本节讨论曲线的曲率。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

一、曲率

先从几何图形直观地分析曲线的弯曲程度是由哪些量来确定的。

当动点沿曲线弧由点 \(M\) 移动到点 \(N\) 时，动点处的切线也相应地跟着转动，切线转过的角称为转角，用 \(\alpha\) 表示。可以看出：

（1）如果两弧的长度相等，那么转角大的，曲线弧的弯曲程度也大；转角小的，曲线弧的弯曲程度也小［图1-（1）］。

（2）如果两弧的切线转角相等，那么弧较长的，它的弯曲程度反而小；弧较短的，弯曲程度反而大［图1-（2）］。

综上分析可知：弧的弯曲程度可用弧两端切线的转角与弧长之比的绝对值 \(\left|\alpha \div \widehat{MN}\right|\) 来描述。这个值越大，弧的弯曲程度就越大；这个值越小，弧的弯曲程度就越小。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

我们把弧两端切线的转角与弧长之比的绝对值，称为这段弧的平均曲率，记为 \(\overline{K}\)，即

\[ \overline{K}=\left|\frac{\alpha}{\widehat{MN}}\right| \]

一般地，曲线的弯曲程度随点而异，所以弧的平均曲率只能表示整段弧的平均弯曲程度。显然，当弧越短时，平均曲率就越能近似地表示弧上某一点附近的弯曲程度。下面给出曲线在一点曲率的定义。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

定义：当点 \(N\) 沿曲线趋近于点 \(M\) 时，\(\widehat{MN}\) 的平均曲率的极限，称为曲线在点 \(M\) 的曲率（curvature），记为 \(K\)，即󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

\[ K=\lim_{\widehat{MN}\to 0}\left|\frac{\alpha}{\widehat{MN}}\right| \]

注意：

（1）因为只考虑曲线弯曲程度的大小，所以曲率 \(K\) 只取非负值；

（2）曲率的单位为：弧度/单位长。

例1

已知圆的半径为 \(R\)，求圆上：

（1）任一段弧的平均曲率；

（2）任一点处的曲率。

解：（1）如图2所示，在圆上任取一段弧 \(\widehat{AB}\)，由平面几何知道，弧两端切线 \(AP\) 与 \(BP\) 的转角 \(\alpha\) 等于圆心角，即 \(\angle AOB=\alpha\)，于是 \(\widehat{AB}=R\alpha\)。因此，\(\widehat{AB}\) 的平均曲率为󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

\[ \overline{K} =\left|\frac{\alpha}{\widehat{AB}}\right| =\frac{\alpha}{R\alpha} =\frac{1}{R} \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

（2）圆上任一点的曲率为

\[ K =\lim_{\widehat{AB}\to 0}\left|\frac{\alpha}{\widehat{AB}}\right| =\lim_{\widehat{AB}\to 0}\frac{1}{R} =\frac{1}{R} \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

这就是说，圆上任一段弧的平均曲率及圆上任一点的曲率都相等，而且等于半径 \(R\) 的倒数 \(\frac{1}{R}\)。即圆的弯曲程度处处一样，半径越小，曲率越大，弯曲得越厉害。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

以下我们给出曲线 \(y=f(x)\) 上任意点处的曲率计算公式。

设函数 \(y=f(x)\) 具有二阶导数，则曲线 \(y=f(x)\) 在任意点 \(M(x,y)\) 的曲率计算公式为

\[ K=\frac{\left|y”\right|}{\left(1+y’^2\right)^{\frac{3}{2}}} \]

（推导略）

［思考］由上面的公式能否得出：直线上每点处的曲率为零；二阶可导函数曲线上拐点处的曲率也为零。为什么？

如果 \(\left|y’\right|\) 比 1 小得多，记为 \(\left|y’\right|\ll 1\)，于是 \(1<1+y’^2\ll 2\)，因此 \(\left(1+y’^2\right)^{\frac{3}{2}}\approx 1\)，由曲率计算公式得 \(K\approx \left|y”\right|\)，这个近似公式在工程技术中常用到。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

例2

求曲线 \(y=ax^3\)（\(a>0,\ x\geq 0\)）的曲率 \(K\) 及 \(K\big|_{x=0}\)。

解：由 \(y=ax^3\)，得

\[ y’=3ax^2,\qquad y”=6ax \]

代入曲率计算公式，得

\[ K=\frac{6ax}{\left(1+9a^2x^4\right)^{\frac{3}{2}}},\qquad K\big|_{x=0}=0 \]

例3

求曲线 \(y=2\ln\left(1-\frac{x^2}{4}\right)\) 上曲率最大的点及最大曲率。

解：函数的定义域为 \((-2,2)\)。由

\[ y’=-\frac{4x}{4-x^2},\qquad y”=-\frac{4(4+x^2)}{(4-x^2)^2} \]

代入曲率计算公式，得

\[ \begin{aligned} K &=\frac{\left|-\frac{4(4+x^2)}{(4-x^2)^2}\right|} {\left[1+\left(-\frac{4x}{4-x^2}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}\\ &=\frac{\frac{4(4+x^2)}{(4-x^2)^2}} {\left[\frac{(4+x^2)^2}{(4-x^2)^2}\right]^{\frac{3}{2}}} \qquad(-2<x<2)\\ &=\frac{4(4-x^2)}{(4+x^2)^2} \end{aligned} \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

求导数，得

\[ K’ =4\cdot \frac{-2x(4+x^2)^2-(4-x^2)\cdot 2(4+x^2)\cdot 2x} {(4+x^2)^4} = \frac{8x(x^2-12)}{(4+x^2)^3} \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

令 \(K’=0\)，得 \(x=0\)，\(x=\pm 2\sqrt{3}\)（舍去）。

由于曲率 \(K\) 的最大值存在，而现在函数在 \((-2,2)\) 内只有一个驻点，因此当 \(x=0\) 时，函数 \(K\) 取得最大值。因为 \(x=0\) 时 \(y=0\)，所以在点 \((0,0)\) 处，曲线 \(y=2\ln\left(1-\frac{x^2}{4}\right)\) 的曲率最大，最大曲率为 1。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

这里求曲率最大点也可以不用求导法。在

\[ K=\frac{4(4-x^2)}{(4+x^2)^2} \]

中，显然，当 \(x=0\) 时，分子最大而分母最小，因而这时 \(K\) 最大。

由曲率计算公式和初等函数的连续性知，如果一阶、二阶导数 \(y’\)、\(y”\) 都连续，则曲率 \(K\) 也连续。如图3所示的曲线轨道 \(BAM\)，其中 \(\widehat{AM}\) 是一段圆弧，直线 \(BA\) 与弧 \(\widehat{AM}\) 相切于点 \(A\)。在点 \(A\) 处的曲率是不连续的，因直线上各点处的曲率为零，而圆弧上各点处的曲率为 \(\frac{1}{R}\)。当火车行驶在曲率不连续的点 \(A\) 时，就要产生一个冲动。所以在铁路线路设计时，要用一条缓和曲线（曲率连续变化的曲线）来连接直线段与曲线段，使其在与直线轨道连接处的曲率为零，而在与曲线轨道连接处，曲率应等于曲线轨道在该点处的曲率，通常选用三次抛物线作为这过渡曲线。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

例4

如图4所示，\(BO\) 为直线铁路轨道，\(\widehat{AM}\) 为半径为 \(R\) 的圆弧铁路线路，试选定适当的参数 \(a\)（\(a>0\)），使曲线 \(y=ax^3\) 的弧段 \(\widehat{OA}\)（其长为 \(L\)）可作为连接这两段线路的过渡曲线线路。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

解：由例2知，

\[ K=\frac{6ax}{\left(1+9a^2x^4\right)^{\frac{3}{2}}} \]

且在 \(O(0,0)\) 处，\(K_0=0\)。

\[ K’=\frac{6a(1-45a^2x^4)} {\left(1+9a^2x^4\right)^{\frac{5}{2}}} \]

令 \(K’=0\)，得

\[ x_1=\sqrt[4]{\frac{1}{45a^2}} \]

要使曲线 \(\widehat{OA}\) 成为连接直线线路 \(BO\) 与圆弧线路 \(\widehat{AM}\) 的过渡曲线，应有 \(K_A=\frac{1}{R}\)。通过选定适当的参数，使 \(x_0\in[0,x_1]\)，这样在区间 \([0,x_0]\) 上，曲率 \(K\) 从 0 连续单调增加到 \(\frac{1}{R}\)。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

当 \(\left|y’\right|\ll 1\) 时，由曲率计算近似公式及例2，得

\[ K_A\approx 6ax_0=\frac{1}{R} \]

于是

\[ a=\frac{1}{6Rx_0} \]

注意到 \(\left|y’\right|\ll 1\)，此时有

\[ \left|y’\right|_{x=x_0} =3ax_0^2 =3\cdot\frac{1}{6Rx_0}\cdot x_0^2 =\frac{1}{2}\cdot\frac{x_0}{R} \ll 1 \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

因此 \(\frac{L}{R}\ll 1\)，\(a=\frac{1}{6RL}\)。

所以，当 \(\frac{L}{R}\ll 1\) 时，曲线

\[ y=\frac{x^3}{6RL} \]

可作为连接 \(BO\)、弧 \(\widehat{AM}\) 两线路的过渡曲线。

二、曲率圆和曲率半径

用曲率的计算公式，可以求出曲线 \(y=f(x)\) 在任一点的曲率。为了使曲率直观形象，也可以用图像来表示曲率。

如果曲线 \(L:y=f(x)\) 在某点 \(M(x,y)\) 的曲率 \(K\) 不等于零，由例1可知，曲线在点 \(M\) 的曲率，与半径为 \(\frac{1}{K}\) 的圆的曲率相等。因此，我们把曲率 \(K\) 的倒数󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

\[ R=\frac{1}{K} =\frac{\left(1+y’^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|y”\right|} \]

称为曲线 \(L\) 在点 \(M\) 的曲率半径（radius of curvature）。

作曲线 \(L\) 在点 \(M\) 的切线与法线，在法线上曲线的凹侧取点 \(C\)，使 \(MC\) 的长等于曲线在点 \(M\) 的曲率半径 \(R\)，即 \(\left|MC\right|=R\)。点 \(C\) 称为曲线 \(L\) 在点 \(M\) 的曲率中心（center of curvature）。以 \(C\) 为圆心，以 \(R\) 为半径的圆称为曲线 \(L\) 在点 \(M\) 的曲率圆（circle of curvature）（图5）。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

设曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(M(x,y)\) 处的曲率中心为 \(C(\alpha,\beta)\)，则

\[ \alpha=x-\frac{y’\left(1+y’^2\right)}{y”}, \qquad \beta=y+\frac{1+y’^2}{y”} \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

例5

设工件内表面的截线为抛物线 \(y=0.4x^2\)（图6），现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮比较合适？并求出抛物线在点 \((1,0.4)\) 处的曲率中心。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

解：显然，我们选用的砂轮的半径，应小于或等于工件的内表面截线上各点处的曲率半径的最小值，否则就会磨掉工件的不应磨去的部分。因此我们先求曲率半径的最小值。

由于

\[ y’=0.8x,\qquad y”=0.8 \]

所以，工件内表面截线 \(y=0.4x^2\) 上任意一点的曲率半径为

\[ R= \frac{\left(1+0.64x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|0.8\right|} = \frac{\left(1+0.64x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{0.8} \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

容易看出，当 \(x=0\) 时，即在抛物线 \(y=0.4x^2\) 的顶点处，\(R\) 的值最小，这个最小值 \(R_{\min}=1.25\)。因此，我们应选用直径等于或略小于 2.5 单位的砂轮磨削工件内表面才比较合适。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

由于在点 \((1,0.4)\) 处，

\[ y’\big|_{x=1}=0.8,\qquad y”\big|_{x=1}=0.8 \]

所以

\[ \alpha =1-\frac{0.8(1+0.64)}{0.8} =-0.64, \qquad \beta =0.4+\frac{1+0.64}{0.8} =2.45 \]󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

因此，抛物线在点 \((1,0.4)\) 处的曲率中心为 \((-0.64,2.45)\)。

文章来源：

杜吉佩主编；工程类应用数学基础教程编写组编《应用数学基础教程 工程类》2004年版。