[图文]铁路曲线正矢的计算公式大全

一、圆曲线正矢的计算

1.1 圆曲线正矢的计算公式

取圆曲线上两点拉一直线,叫做弦。弦上任意点至曲线上的垂直距离叫矢或叫矢距。在弦中央点的矢距叫正矢(下图)。

AB一弦;AC、CB一半弦;CD一正矢;EF一矢距

正矢计算公式为

$$f=\frac{C^2}{8R}$$

其中:           f-正矢                 C-弦长                 R-半径           式中单位均为m。

公式用文字表示即:正矢=(弦长X弦长)÷(8×半径)

1.2 无缓和曲线时，圆曲线始终点处正矢

如上图所示，当圆曲线与直线相连时，由于测量弦线的一端伸入到直线内，故圆曲线始、终点ZY、YZ)两侧测点的正矢与圆曲线内的各点不同。

设: 1、2测点的正矢分别为f₁、f₂则

$$ \begin{aligned} f_1&=\frac{b^2}{2}f_y\\ f_2&=\left(1-\frac{a^2}{2}\right)f_y \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

当a=0、b=1时，1测点为圆曲线始点，则f₁=fy÷2、f₂=fy，即圆曲线始点位于2测点时其正矢为圆曲线正矢的二分之一。

直圆点正矢    \(f_{zy}=\frac{f }{2}\) 

圆直点正矢    \(f_{yz}=\frac{f }{2}\) 

例:圆曲线计划正矢f=100mm、a=1.5m、b=8.5m（其中10为点间距，比如现场采用20m弦时，点间距为10m）。求f₁、f₂

解：

$$ \begin{aligned} a&=\frac{a\lambda}{\lambda}=\frac{1.5}{10}=0.15\\ b&=\frac{b\lambda}{\lambda}=\frac{8.5}{10}=0.85 \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

$$ \begin{aligned} f_1&=\frac{b^2}{2}f_y=\frac{0.85^2}{2}\times 100=36.1\,\mathrm{mm}\\ f_2&=\left(1-\frac{a^2}{2}\right)f_y=\left(1-\frac{0.15^2}{2}\right)\times 100=98.9\,\mathrm{mm} \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

弦长与正矢的关系

$$f=\frac{C^2}{8R}$$

假如用20m弦,半径为2500m,则正矢=20mm；

假如用10m弦,半径为2500m,则正矢=5mm；

假如用5m弦,半径为2500m,则正矢=1.25mm；

同理,假如半径500m,则

弦长20m时,正矢=100mm；

弦长10m时,正矢=25mm；

弦长5m时,正矢=6.25mm；

根据这两个例题,可以找出弦长与正矢的关系:当半径不变,弦长为原弦长的1/2倍时,正矢为原正矢的1/4倍;弦长为1/4倍时，正矢为1/16倍,因此弦长为n倍时，则正矢为n²倍。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

曲线上任意点矢距的计算

如上图所示,设弦长AB=C,如上所述,

$$f=\frac{C^2}{8R}$$

距AB弦始终点为a的任意点的矢距f’,等于正矢f减去以(C-2a)为弦的正矢，即

$$ \begin{aligned} f’&=\frac{C^2}{8R}-\frac{\left(C-2a\right)^2}{8R}\\ &=\frac{4aC-4a^2}{8R}=\frac{4a(C-a)}{8R}\\ &=\frac{a(C-a)}{2R} \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

如\(a=\frac{1}{8}C\)，则

$$ \begin{aligned} f’_{1/8}&=\left[\frac{4C}{8}\left(C-\frac{C}{8}\right)\right]\div 8R\\ &=\frac{4}{8}\times\frac{7}{8}\times\frac{C^2}{8R}=\frac{7}{16}f \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

如\(a=\frac{1}{4}C\)，则

$$ \begin{aligned} f’_{1/4}&=\left[4\times\frac{C}{4}\left(C-\frac{C}{4}\right)\right]\div 8R\\ &=\frac{3}{4}\times\frac{C^2}{8R}=\frac{3}{4}f=\frac{12}{16}f \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

如\(a=\frac{3}{8}C\)，则

$$ \begin{aligned} f’_{3/8}&=\left[4\times\frac{3C}{8}\left(C-\frac{3C}{8}\right)\right]\div 8R\\ &=\frac{3}{8}\times\frac{5}{2}\times\frac{C^2}{8R}=\frac{15}{16}f \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

二、缓和曲线正矢的计算

缓和曲线的半径是由无穷大逐渐变为与圆曲线半径相同。由于缓和曲线的半径是变化的，所以缓和曲线上各点正矢都不一样，其变化规律是由始点向圆曲线方向渐次增加一定的量。现将缓和曲线各部正矢的计算分述如下。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

2.1 缓和曲线正矢的计算公式

$$f_x=\frac{nf_c}{m}$$

式中

f_x——缓和曲线正矢;

n——测点点号;

m——缓和曲线分段数;

f_c——圆曲线正矢。

例:设圆曲线正矢为120mm,缓和曲线等分6段（上图),则缓和曲线上各测点的正矢为

$$ \begin{aligned} \text{测点1的正矢}&=\frac{nf_c}{m}=\frac{1\times120}{6}=20\,\mathrm{mm}\\ \text{测点2的正矢}&=\frac{nf_c}{m}=\frac{2\times120}{6}=40\,\mathrm{mm}\\ \text{测点3的正矢}&=\frac{nf_c}{m}=\frac{3\times120}{6}=60\,\mathrm{mm}\\ \text{测点4的正矢}&=\frac{nf_c}{m}=\frac{4\times120}{6}=80\,\mathrm{mm}\\ \text{测点5的正矢}&=\frac{nf_c}{m}=\frac{5\times120}{6}=100\,\mathrm{mm} \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

从上面例子可以看出，缓和曲线各测点正矢递增量是一个常数,即等于圆曲线的正矢除缓和曲线分段数(测点数)。

用公式表示即为

$$ \text{缓和曲线各测点递增量}=\frac{\text{圆曲线正矢}}{\text{缓和曲线分段数}} $$

例:圆曲线正矢为120mm,将缓和曲线等分为6段,则每点正矢递增量为

$$ \text{递增量 } f_d=\frac{120}{6}=20\,\mathrm{mm} $$

同上可得

$$ \begin{aligned} \text{测点1的正矢}&=1\times f_d=1\times20=20\,\mathrm{mm}\\ \text{测点2的正矢}&=2\times f_d=2\times20=40\,\mathrm{mm}\\ \text{测点3的正矢}&=3\times f_d=3\times20=60\,\mathrm{mm}\\ \text{测点4的正矢}&=4\times f_d=4\times20=80\,\mathrm{mm}\\ \text{测点5的正矢}&=5\times f_d=5\times20=100\,\mathrm{mm} \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

2.2 缓和曲线始终点正矢的计算

测点在缓和曲线始终点时，缓和曲线起点(直缓ZH、缓直HZ)的正矢为缓和曲线递增量的六分之一;缓和曲线终点(缓圆HY、圆缓YH)的正矢为圆曲线正矢减去缓和曲线正矢递增量的六分之一(即减去缓和曲线始点的正矢)。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹
以公式表示为:

$$ \text{缓和曲线始点正矢}=\frac{\text{缓和曲线正矢递增量}}{6} $$

$$ \text{缓和曲线终点正矢}=\text{圆曲线正矢}-\text{缓和曲线始点正矢} $$

例:圆曲线正矢为100mm,缓和曲线测点分成5段(即缓和曲线长为50m),缓和曲线的始终点正矢为

缓和曲线的正矢递增量=100÷5=20mm

缓和曲线始点正矢=20÷6≈3mm

缓和曲线终点正矢= 100-20÷6≈97mm

2.3 缓和曲线始点(ZH、HZ)相邻测点的正矢

如图所示，设1、2两测点分别在ZH点两侧，与ZH点相距分别为aλ、bλ，λ为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b=λ， 则:

公式：

$$ \begin{aligned} f_1&=\frac{b^3}{6}f_d\\ f_2&=\left(b+\frac{a^3}{6}\right)f_d \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

上式中：a和b均为段，即a=a/λ,b=b/λ。

当缓和曲线始点(ZH) 1位于点时，此时a=0、b=1则:

$$ \begin{aligned} f_1&=\frac{1}{6}\times f_d\\ f_2&=f_d \end{aligned} $$

例:缓和曲线20m弦正矢递变率f_d=30mm，1测点和2测点距ZH点分别为a=7.5m，b=2.5m，求f₁和f₂
弦长为20m，那么点间距λ=10，则a=7.5/10=0.75，b=2.5/10=0.25。

$$ \begin{aligned} f_1&=\frac{b^3}{6}f_d=\frac{0.25^3}{6}\times30=0.1\,\mathrm{mm}\\ f_2&=\left(b+\frac{a^3}{6}\right)f_d=\left(0.25+\frac{0.75^3}{6}\right)\times30=9.6\,\mathrm{mm} \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

2.4 缓和曲线终点(HY、 YH) 相邻两点的正矢

如图所示，n和n+1为与缓圆点相邻的两个测点，距缓圆点分别为bλ和aλ。
则：

则\(f_n=f_y-\frac{1}{6}f_d\)

$$f_{n+1}=f_y$$

当缓和曲线始点(ZH)位于1n点时，a=1、b=0

则
$$ f_n=f_y-\left(b+\frac{a^3}{6}\right)f_d $$

$$ f_{n+1}=f_y-\frac{b^3}{6}f_d $$

即当缓和曲线始点(ZH)位于测点时，其正矢为圆曲线正矢减缓和曲线正矢递诚变率的六分之一。
例:圆曲线20m弦计划正矢f_y=90mm,缓和曲线正矢递减变率f_d=30mm,设n测点距HY点距离为7.5m，n+1测点距HY点距离为2.5m，求f_n和f_n+1。

弦长为20m，那么点间距λ=10，则a=2.5/10=0.25，b=7.5/10=0.75。

解:

$$ \begin{aligned} f_n&=f_y-\left(b+\frac{a^3}{6}\right)f_d =90-\left(0.75+\frac{0.25^3}{6}\right)\times30=67.4\,\mathrm{mm}\\ f_{n+1}&=f_y-\frac{b^3}{6}f_d =90-\frac{0.75^3}{6}\times30=87.9\,\mathrm{mm} \end{aligned} $$󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

有缓曲线计划正矢计算

一、圆曲线正矢的计算 1.1 圆曲线正矢的计算公式 取圆曲线上两点拉一直线,叫做弦。弦上任意点至曲线上的垂直距离叫矢或叫矢距。在弦中央点的矢距叫正矢(下图)。 AB一弦;AC、CB一半弦;CD一正矢;EF一矢距 正矢计算公式为 $$f=\frac{C^2}{8R}$$ 其中:  &nbsp…

无缓曲线正矢计算

一、圆曲线正矢的计算 1.1 圆曲线正矢的计算公式 取圆曲线上两点拉一直线,叫做弦。弦上任意点至曲线上的垂直距离叫矢或叫矢距。在弦中央点的矢距叫正矢(下图)。 AB一弦;AC、CB一半弦;CD一正矢;EF一矢距 正矢计算公式为 $$f=\frac{C^2}{8R}$$ 其中:  &nbsp…