曲线上任意点矢距的计算
如上图所示，设弦长 \(AB=C\)，圆曲线半径为 \(R\)，则整弦正矢为：
$$ f=\frac{C^2}{8R} $$
距弦端点 \(A\) 为 \(a\) 的任意点，其矢距为 \(f’\)。该点矢距等于整弦正矢 \(f\) 减去以 \((C-2a)\) 为弦长的正矢，即：
$$ \begin{aligned} f’ &=\frac{C^2}{8R}-\frac{(C-2a)^2}{8R} \\ &=\frac{C^2-(C-2a)^2}{8R} \\ &=\frac{C^2-(C^2-4aC+4a^2)}{8R} \\ &=\frac{4aC-4a^2}{8R} \\ &=\frac{4a(C-a)}{8R} \\ &=\frac{a(C-a)}{2R} \end{aligned} $$ 󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹
因此，曲线上任意点矢距计算公式为：
$$ f’=\frac{a(C-a)}{2R} $$
常用分点矢距换算
当 \(a=\frac{1}{8}C\) 时：
$$ \begin{aligned} f’_{1/8} &=\frac{4\times \frac{C}{8}\left(C-\frac{C}{8}\right)}{8R} \\ &=\frac{4\times \frac{C}{8}\times \frac{7C}{8}}{8R} \\ &=\frac{7}{16}\times \frac{C^2}{8R} \\ &=\frac{7}{16}f \end{aligned} $$ 󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹
当 \(a=\frac{1}{4}C\) 时：
$$ \begin{aligned} f’_{1/4} &=\frac{4\times \frac{C}{4}\left(C-\frac{C}{4}\right)}{8R} \\ &=\frac{4\times \frac{C}{4}\times \frac{3C}{4}}{8R} \\ &=\frac{3}{4}\times \frac{C^2}{8R} \\ &=\frac{3}{4}f \\ &=\frac{12}{16}f \end{aligned} $$ 󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹
当 \(a=\frac{3}{8}C\) 时：
$$ \begin{aligned} f’_{3/8} &=\frac{4\times \frac{3C}{8}\left(C-\frac{3C}{8}\right)}{8R} \\ &=\frac{4\times \frac{3C}{8}\times \frac{5C}{8}}{8R} \\ &=\frac{15}{16}\times \frac{C^2}{8R} \\ &=\frac{15}{16}f \end{aligned} $$ 󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹
由此可得，圆曲线常用分点矢距与整弦正矢的关系如下：
| 测点位置 | 矢距关系 |
|---|---|
| \(a=\frac{1}{8}C\) | \(f’=\frac{7}{16}f\) |
| \(a=\frac{1}{4}C\) | \(f’=\frac{12}{16}f=\frac{3}{4}f\) |
| \(a=\frac{3}{8}C\) | \(f’=\frac{15}{16}f\) |
| \(a=\frac{1}{2}C\) | \(f’=f\) |
计算例题
例：曲线半径 \(R=300m\)，弦长 \(C=30m\)，求距弦端 \(a=3m\) 处的矢距。
根据公式：
$$ f’=\frac{a(C-a)}{2R} $$
代入数据得：
$$ \begin{aligned} f’ &=\frac{3\times(30-3)}{2\times300} \\ &=\frac{81}{600} \\ &=0.135m \\ &=135mm \end{aligned} $$ 󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹
答：距弦端 \(3m\) 处的矢距为 \(135mm\)。
