[图解]铁路抛物线型竖曲线计算

竖曲线有圆曲线形、抛物线形和链条坡三种类型。

对称型竖曲线

抛物线型竖曲线通常是二次抛物线，它实际上是采用以20m为边长而其变更率为γ的外切多边形所构成,其长度应该为20m的倍数,所以它的纵距可用方程式y=Ax²表示。具体参见图1。

(1)竖曲线长度:

从图1可得

$$\tan \frac{a}{2}=\frac{2y}{\frac{C}{2}}=\frac{1}{2}\bigtriangleup i ‰$$

上式中C为抛物线长度,故

$$\frac{\gamma }{\Delta i}=\frac{20}{C}$$

又因为

$$y=\frac{C}{8}\times \frac{\Delta i}{1000}=\frac{\Delta i\cdot C}{8000}$$

所以,竖曲线长度C为

$$C=\frac{\Delta i}{\gamma }\times 20\qquad（m）$$

(2)相邻坡度代数差Δi:

$$\Delta i=\frac{\gamma \cdot C}{20}$$

(3)每20m的变坡率γ:

$$\gamma =\frac{20\Delta i}{20}$$

式中γ——每20m长度的变坡率(‰) ,也可由1表查得。

(4)竖曲线切线长:

$$T=\frac{C}{2}\qquad（m）$$

(5)竖曲线的纵距:

$$\gamma =\frac{\gamma x^2}{40000} \qquad（m）$$

式中x——为竖曲线始、终点至任意点的距离(m)。

(6)任意点坡度标高:

$$h=H_V\pm X\cdot i$$

式中

h——坡度对应点标高(m);

X·i值——凸形用“-”,凹形用“+”;

H_v——中央点标高(m) ;

X——中央点至对应点的距离(m);

i——对应点所处的坡度(‰)。

(7)任意点竖曲线标高:

$$H=h+γ$$

式中

H——竖曲线对应点标高(m);

h——坡度对应点标高(m);

y——x对应点的纵距( mm) ,凸形用“-”,凹形用“+”。

例题 1

已知相邻坡段之坡度如图2所示,Ⅰ级铁路,限制坡度i_x= 10‰,采用抛物线型竖曲线,其变坡点里程为K24+320,试计算竖曲线长度、切线长度及纵距和标高。

解:(1)根据题意,得变坡率:

$$\gamma =\frac{i_x}{10}=\frac{10}{10}=1％$$

(2)坡度代数差:

$$\Delta i=2-(-2)=4‰$$

(3)竖曲线长:

$$C=\frac{\Delta i}{\gamma }\times 20=\frac{4}{1}\times 20=80m$$

(4)切线长:

$$T=\frac{C}{2}=\frac{80}{2}=40m$$

(5)竖曲线始终点里程:

始点里程A:K24+(320-40)=K24+280

终点里程B:K24+(320+40)=K24+360

(6)各点坡度标高:

K24+280处:h=H_V+X_xi=120.000-40×2‰=119.920 m

K24+300处:h=H_V+X_xi=120.000-20×2‰=119.960 m

K24+320处:h=H_V+X_xi=120.000-0×2‰=120.000 m

K24+340处:h=H_V+X_xi=120.000-20×2‰=119.960 m

K24+360处:h=H_V+X_xi=120.000-40×2‰=119.920 m

(7)各点纵距:

$$\frac{K24+280}{K24+360}处：y=\frac{\gamma x^2}{40000}=\frac{1\times 0^2}{40000}=0.00m$$

$$\frac{K24+300}{K24+340}处：y=\frac{\gamma x^2}{40000}=\frac{1\times 20^2}{40000}=0.01m$$

$$K24+320处：y=\frac{\gamma x^2}{40000}=\frac{1\times 40^2}{40000}=0.04m$$

计算结果见表2。

表2计算结果

里 程	坡度标高h	纵距y	竖曲线标高H	附注
K24+280	119.92	0	119.92	i1=+2% ,i2=-2‰
+300	119.96	-0.01	119.95	γ=1‰
+320	120.00	-0.04	119.96	V=K24+320
+340	119.96	-0.01	119.95	Hv=120.00 m
K24+360	119.92	0	119.92	T=40m,C=80m
				A=K24+280
				B=K24+360

例题 2

Ⅰ级线路一凹形竖曲线,i₁=-6.2‰ , i₂=+2.2‰,变坡点里程为K504+200,其标高为58.200m,如图3所示。试计算该竖曲线上每50m的设计标高。

解:(1)根据题意,得坡度代数差:

Δi=2.2-(-6.2)=8.4‰

(2)根据题意,凹形竖曲线变坡率不得大于0.5‰ ,有短坡的变坡点数:

$$n=\frac{\Delta i}{\gamma }=\frac{8.4}{0.5}=16.8，取整为17$$

反算变坡率为

$$\gamma =\frac{i_x}{n}=\frac{8.4}{17}=0.494‰$$

(4)切线长:

$$T=\frac{C}{2}=\frac{340}{2}=170m$$

(5)竖曲线始终点里程:

始点里程 K504+(200-170)= K504+030

终点里程K504+(200+170)=K504+370(6)各点坡度标高:

K504+030处:h=H_v+X×i₁=58.200+170×6.2‰=59.254m

K504+050处:h=H_v+X×i₁=58.200+150×6.2‰=59.130m

K504+100处:h=H_v+X×i₁=58.200+100×6.2‰=58.820m

K504+150处:h=H_v+X×i₁=58.200+50×6.2‰=58.510m

K504+250处:h=H_v+X×i₂=58.200+50×2.2‰=58.310m

K504+300处:h=H_v+X×i₂=58.200+100×2.2‰=58.420m

K504+350处:h=H_v+X×i₂=58.200+150×2.2‰=58.530m

K504+370处:h=H_v+X×i₂=58.200+170×2.2‰=58.574m

(7)各点纵距:

$$\frac{K504+050}{K504+350}处：y=\frac{\gamma x^2}{40000}=\frac{0.0494 \times 20^2}{40000}=0.00494m$$

$$\frac{K504+100}{K504+300}处：y=\frac{\gamma x^2}{40000}=\frac{0.0494 \times 70^2}{40000}=0.0605m$$

$$\frac{K504+150}{K504+250}处：y=\frac{\gamma x^2}{40000}=\frac{0.0494 \times 120^2}{40000}=0.1778m$$

$$K504+200处：y=\frac{\gamma x^2}{40000}=\frac{0.0494 \times 170^2}{40000}=0.3569m$$

(8)各点竖曲线标高:

K504+300处:H=h+y=58.420+0.0605=58.481m

K504+350处:H=h+y=58.530+0.0049=58.535m

K504+370处:H=h+y=58.574+0=58.574m

K504+030处:H=h+y=59.254+0=59.254m

K504+050处:H=h+y=59.130+0.0049=59.135m

K504+100处:H=h+y=58.820+0.0605=58.881m

K504+150处:H=h+y=58.510+0.1778=58.688m

K504+200处:H=h+y=58.200+0.3569=58.557m

K504+250处:H=h+y=58.310+0.1778=58.488m

计算结果见表3。

里程	坡度标高h	纵距y	竖曲线标高H	附注
K504+030	59.254	0	59.254	i1=-6.2‰
+050	59.130	+0.005	59.135	i2 =+2.2‰
+100	58.820	+0.061	58.881	y=0.494‰
+150	58.510	+0.178	58.688	V=K504+200
+200	58.200	+0.367	58.557	HV = 58.20 m
+250	58.310	+0.178	58.488	T= 170 m
+300	58.420	+0.061	58.481	C=340 m
+350	58.530	+0.005	58.535	A=K504+030
K504+370	58.574	0	58.574	B=K504+370

本例题也可直接运用变坡率γ=0.5‰ ,计算结果相差无几。在这里只是多介绍一种方法。

文章来源：

陈知辉编著. 《铁路曲线轨道》[M]. 2009