圆曲线切线支距法放样计算公式

1 测设数据的准备

如果已知转向角 \(\alpha\) 和圆曲线半径 \(R\)，圆曲线要素如图1所示，其计算公式如下：

切线长

$$ T=R\cdot \tan\frac{\alpha}{2} $$

曲线长

$$ L=\frac{\pi}{180}\alpha \cdot R $$

外矢距

$$ E=R\cdot \left(\sec\frac{\alpha}{2}-1\right) $$

切曲差

$$ q=2T-L $$

圆曲线主点桩号的计算及检核如下：

ZY桩号 = JD桩号 – \(T\)

QZ桩号 = ZY桩号 + \(L/2\)

YZ桩号 = QZ桩号 + \(L/2\) = ZY桩号 + \(L\)

YZ桩号 = JD桩号 + \(T-q\)（检核）

2 主点测设

测设主点时，在转向点 JD 安置经纬仪，依次瞄准两切线方向，沿切线方向丈量切线长 \(T\)，标定曲线的起点 ZY 和终点 YZ。然后再照准 ZY 点，测设角 \((180^\circ-\alpha)/2\)，得分角线方向 JD 至 QZ，沿此方向丈量外矢距 \(E\)，即得曲中点 QZ。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

3 切线支距法进行圆曲线详细测设

如图2所示，它是以 ZY 或 YZ 为坐标原点，切线为 \(X\) 轴，过原点的半径为 \(Y\) 轴，建立坐标系。其中，\(X\) 轴指向 JD，\(Y\) 轴指向圆点 \(O\)。根据曲线上各点 \((x，y)\) 测设曲线。该方法适用于地势较平坦的地区，优点为各桩的测设相互独立，不累计误差。\(i\) 为曲线上欲测设的点位，其坐标计算如下：󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

$$ \begin{align*} x_i &= R\sin\varphi_i \\ y_i &= R(1-\cos\varphi_i) \\ \varphi_i &= \frac{l_i}{R}\frac{180^\circ}{\pi} \end{align*} $$ 󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

式中，\(l_i\) 是 \(i\) 至 ZY 点或 YZ 点的弧长；\(R\) 为圆曲线半径；\(\varphi_i\) 为 \(l_i\) 所对应的圆心角。为了保证测设的精度，避免 \(y\) 值过长，曲线分两部分测设，即由曲线的起点和终点向中间点各测设曲线的一半，具体步骤如下：󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

① 根据曲线桩的详细计算资料，用钢尺从 ZY 点或 YZ 点向 JD 方向量取 \(x_1\)、\(x_2\) 等横距，得垂足 \(N_1\)、\(N_2\) 等点，用测钎做标记。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

② 在各垂足点 \(N_1\)、\(N_2\) 等处，依次用方向架或测角仪器定出 ZY 点或 YZ 点切线的垂线，分别沿垂线方向量取 \(y_1\)、\(y_2\) 等纵距，即得曲线上各桩点 \(i\)。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

③ 检验：用上述方法测定各桩后，丈量各桩之间的弦长并进行校核。如不符合或超过容许范围，应查明原因，予以纠正。

4 注意事项

1）切线支距法测设曲线时，为了避免支距过长，一般由 ZY 点或 YZ 点分别向 QZ 点施测。

2）由于切线支距法安置仪器次数多，速度较慢，同时检核条件较少，故一般适用于半径较大、\(y\) 值较小的平坦地区曲线测设。

文章来源：

崔立鲁主编.《工程测量实验指导》[M]. 2016