曲线正矢计算公式推导过程

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2021年2月18日00:00:44
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1 圆曲线正矢计算推导

曲线正矢计算公式推导过程

图1 圆曲线正矢计算图

如图1所示,在直角三角形LDC中

OC²=OL²+LC²

OC=R,OL=R-F,LC=L/2

即可得:

R²=(R-F)²+(L/2)²

即可推出

2RF=L²/4+F²

上式F值比R甚小,F可省略不计算,并不影响便用的要求。

于是可得出:

F=(L²/4)*(1/2R)=L²/8R

上式即为圆曲线半径、弦长、正矢之间的几何关系式。

曲线正矢计算公式推导过程

图2 圆曲线与直线的直接连接

圆曲线上各点正矢(始点和终点除外)相等。如果圆曲线与直线直接接连,其始点ZY上的正矢Fo与圆曲线正矢Fc的关系,可从图2求得。如ZY不在测点上,其距直线上的测点О为a,距圆曲线上测点1为b。ZY点与坐标原点重合。测点О的正矢为Fo,测点1的正矢为F1,y1与y2分别为1和2点的切线支距,x1与x2为相应的横坐标,L为弦长,测点间距可近似等于L/2。

由三角形(-111'),可得Fo=y1/2,由图得圆曲线方程x²+(y-R)²=R²,又由三角形(O11')近似地得x1²=b²-y1²,代入上面的圆曲线方程得x1²+( y1-R)²=R²,故b²-y1²+(y1-R) ²=R²,解得:y1=b²/2R

则Fo=b²/4R

利用公式(Fc=L²/8R)中的R于FC的关系,带入上式可得Fo与Fc间的关系:Fo=(2FcB²)/L²

若ZY点在测点上,则a=0,b=L/2,由上式得:Fo=Fc/2

即ZY点处的正矢为圆曲线正矢之半。

测点1的正矢F1,计算如下:

将测点2的坐标代入圆曲线方程式,得:(y2-R)²=R²一X2²

由三角形(O22')得:X2²=(b+L/2)²-y2²

代人上述圆曲线方程得:y2=(b+L/2)²/2R

再利用R与FC的关系,代人上式可得y2=[4Fc(b+L/2)²]/L²

同样利用三角形(O22'),并由于曲线半径R很大,可以近似地认为F1在y1的延长线上,由此可得:F1=y2÷2-y1

将y1,y2和b=L/2-a,代入上式得:

F1=[4Fc(b+L/2)²]/L²-b²/2R=[4Fc(L/2-A+L/2)²]/(2L²)-4Fc(L/2-A)²]/L²=[1-2(a/L)²]Fc

如若ZY点在测点上,a=0,则f1 =fc

2 缓和曲线计划正矢的计算推导

曲线正矢计算公式推导过程

图3 缓和曲线计算正矢计算图

(一)测点在缓和曲线始终点时的计划正矢的计算

图3所示为缓和曲线始点附近的一段,O为缓和曲线的始点ZH,o,1,2,……为正矢测点,其正矢分别为Fo、F1、F2、F3、……。以入表示测点间的距离,为正矢弦长L的一半,y1、y2、y3…为各测点的切线支距。对常用缓和曲线,切线支距y可用下式求取:

y=L³/(6RLo

式中,L为测点至缓和曲线始点ZH 的曲线长度。

由于测点间距为λ,可近似地认为L=Σλ,由此可得各点的切线支距为:

y1=λ³/(6RLo

y2=(2λ³)/(6RLo)=8y1

y3=(3λ³)/(6RLo)=27y1

由于缓和曲线终点处切线的总折角φ很小,可以认为图3中的F1与F2分别位于y1与y2的延长线上,可知

F1=1/2y2-y1=3y1

将y1代入得

F1=λ³/(2RLo)=[λ²/(2R)]/(L0/R)=Fc/n

式中, Fc为圆曲线正矢,Fc=L²/8R=λ²/(2R);n为缓和曲线的测点分段数.其值为L0/λ。

因为缓和曲线上各点的半径σ是变化的,所以除第1点外的其他各点正矢由图3可得

F2=2F1、F3=3F1、……、Fn-1=(n-1)F1

因此,可将缓和曲线始点后第1点的正矢f1,称为“缓和曲线的正矢递增率”,用fd表示.即

Fd=F1=Fc/n

可得

F2=2Fd、F3=3Fd、……、Fn-1=(n-1)Fd

缓和曲线始点处的正矢由图3得,F0=½y1=F1/6,因为F1=Fd,所以

F0=Fd/6

于是有缓和曲线终点处的正矢

Fn=Fc-Fd/6

这是因为终点(HY)右侧为圆曲线(正矢等于F),左侧为缓和曲线(正矢小于F,且按比例递减),所以,该点的正矢应较圆曲线正矢减少缓和曲线正矢递增率的1/6。

由此可见.常用缓和曲线正矢按直线比例递增﹐只要按式(Fd=F1=Fc/n)求得Fd后,便可算得其他各点的正矢。

(二)测点不在缓和曲线始,终点时计划正矢的计算
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图4 缓和曲线始点左右邻点计划正矢计算图

由于圆曲线长度一般都不正好是10m 的整倍数,因此其中一端的缓和曲线就不可能恰好落在测点上。这样始终点左右相邻点的正矢要另作计算。

(1)缓和曲线始点左右邻点计划正矢的计算,如图3所示,ZH不在测点上,位于直线上О点与缓和曲线上1点之间,O点距ZH 为a,1点距ZH为b,相应的正矢分别为Fo和F1。λ为半弦长,即λ=L/2。

由图4可见

曲线正矢计算公式推导过程

因为,R=λ²/2Fc,Lo=nλ,Fd=Fc/n,代入上式并简化,得

曲线正矢计算公式推导过程

式中αa=1/6(b/λ)³,称为求ZH左侧О测点正矢FO的修正系数(也称纵距率)。

曲线正矢计算公式推导过程

与上述相同,简化后可得

曲线正矢计算公式推导过程

式中:

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称为求ZH右侧测点1正矢F1的“修正系数”。

(2)缓和曲线终点左右邻点计划正矢的计算
曲线正矢计算公式推导过程

图5 缓和曲线终点左右邻点计划正矢计算图

如图5所示,缓和曲线终点(HY)不在测点上,位于圆曲线上的3点与缓和曲线上2点之间;3点距HY为a,2点距HY为b;相应的正矢为F2和F3

根据同样的推理,可得

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曲线正矢计算公式推导过程

式中,a2及α3分别为求HY右侧3点和左侧2点正矢F3和F2的“修正系数”。

 

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