[图解]复合曲线中间缓和曲线正矢计算公式

对于复曲线的中间缓和曲线，无论采用哪种布设方法，均应满足如下条件：

1. 中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处半径相等。

2. 中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处具有公共的切线。

我国采用的常用缓和曲线，其长度和半径的关系为：

$$ Rl=R_0l_0 $$

式中：

\(R\)——缓和曲线上距始点长度为 \(l\) 处的半径；

\(l\)——缓和曲线上任意一点距始点的距离；

\(R_0\)——缓和曲线终点处半径；

\(l_0\)——缓和曲线长度。

如图1，两圆半径为 \(R_1\)、\(R_2\)，且 \(R_1>R_2\)。延长中间缓和曲线至 ZH′，使其半径从 \(R\) 渐变到 \(R=+\infty\)，则可求得中间缓和曲线的全长 \(L\)。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

$$ L\times R_2=(L-l_n)\times R_1 $$ $$ L=\frac{R_1}{R_1-R_2}\times l_n $$ 󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

式中：\(L\)——中间缓和曲线全长；\(l_n\)——中间缓和曲线长度。

如图1，曲线上 A、B、C 均为测点，有两种情况：

1. 测点的始、终点均不位于中间缓和曲线上。则正矢的计算与普通曲线一样，在此不作论述。

2. 测点的始、终点有一个或均位于中间缓和曲线上，其正矢的计算在此提出如下的方法，假设 A、B、C 的位置如图所示。

如果 A、B、C 在同一坐标系内的坐标能够求出，则 A、B 或 B、C 点的正矢可以用坐标计算。连接 A、B 及 B、C，AB 的中点为 \(P_1\)，AB 的中点为 D，BC 的中点为 \(P_2\)，BC 的中点为 E，则 \(P_1D\)、\(P_2E\) 即为 A、B 及 B、C 点的正矢。采用这一方法计算正矢，关键在于计算曲线上各点的坐标。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

以 ZH′ 为原点，以 ZH′ 的切线方向为 \(x\) 轴建立坐标系，A 点位于 \(R_1\) 上，设 A 点的坐标为 \(A(x_a，y_a)\)。为计算 A 点的坐标，首先计算 \(YH_1\) 点的坐标。因为计算出的 \(L\) 可能很长，为保证有足够的精度，在缓和曲线 \(L\) 上，取：󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

上式中：\(0\leq l\leq L\)。

\(YH_1\) 点位于 \(L\) 上，当 \(l=l’\) 时，即为 \(YH_1\) 点的坐标 \(YH_1(x_1，y_1)\)；同样，当 \(l=L\) 时，即为 \(HY_2\) 点的坐标 \(HY_2(x_2，y_2)\)。󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹

过 \(YH_1\) 作 \(L\) 及 \(R_1\) 的公切线，连接点 A 与 \(YH_1\)，如图2。则 A 点的坐标为：

B、D、E 均在 \(l_n\) 上，其坐标参见式（1-1）计算。

C 点位于 \(R_2\) 上，设 C 点的坐标为 \(C(x_c，y_c)\)。过 \(HY_2\) 点作 \(R_2\) 及 \(L_n\) 的公切线，连接点 C 与 \(HY_2\)，如图3。则 C 点的坐标为：󠅅󠅃󠄵󠅂󠄪󠇖󠆨󠆨󠇕󠆞󠆒󠅬󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹